Функция на множестве действительных чисел - § 13. Множества. Действительные числа

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий в математике. Под множеством понимают совокупность некоторых объектов , объединенных по определенному признаку. Объекты, составляющие множество называются его элементами точками. Множество принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита A,B X,Y , а элементы малыми ,b Элементы множеств записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены. Введем понятие суммы множеств.

Суммой множеств X иY называется совокупность элементов, принадлежащих X и Y. Сумма этих множеств обозначается X U Y. Произведение пересечение множеств X и Y является совокупность элементов принадлежащих множеству Х и Y одновременно.

1)Числовые множества. Структура множества действительных чисел. Свойства множества действительных чисел.

Множества , элементами которого являются числа, называют числовыми. Рациональные - выражаются или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Действительные числа не являющиеся рациональными называются иррациональными. Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел.

Под числовой последовательностью x 1 ,x Символ x n — общим элементом, а число n- его номером. В противном случае последовательность- неограниченна. Все эти последовательности называются монотонными последовательностями. Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.

§ Множества. Действительные числа | Портал знань, портал знаний, дистанційне навчання

Пусть - бесконечно малые последовательности. Докажем, что - бесконечно малая. Пусть - произвольное число, N 1 — номер начиная с которого , а N 2 — номер начиная с которого. Такие номера должны найтись в соответствии с определением б. Тогда в соответствии с определением последовательности - бесконечно малая;.

Последние два свойства примем без доказательств. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если предел последовательности равен числу , то это записывается так:. Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: Все эти свойства необходимы для определения пределов различных последовательностей.

Доказывать все не будем. Рассмотрим лишь в качестве примера доказательство свойства 3. Тогда по определению предела последовательности, любой элемент сходящейся последовательности, с учетом того, что , можно представить в виде где n — элемент бесконечно малой последовательности. Аналогично , отсюда получим: Монотонные последовательности классифицируются по соотношению между соседними элементами, о чем говорилось выше. Монотонные последовательности ограничены либо сверху убывающие , либо снизу возрастающие.

По формуле бинома Ньютона:.

Множества. Действительные числа

Отсюда следует, что с увеличением n, число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n, число убывает, поэтому величины Поэтому последовательность - возрастающая.

Покажем, что эта последовательность ограничена. Если заменить каждую скобку в правой части на 1, то мы увеличим правую часть, и равенство превратится в неравенство:.

Следовательно, по теореме Вейерштрасса, последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой е. Число е играет большую роль, в математике и является иррациональным число Эйлера, Неперово число. Необходимо найти размер вклада Q t через t- лет. Размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину то есть. На практике значительно чаще используют сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и тоже число раз, то есть ;.

Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются: Она может быть использована и при непрерывном начислении процентов. При этом x- называют независимой переменной аргументом , y — зависимой переменной.

Множество X — областью определения существования , множество Y- областью значений изменений функции. Для обозначения функций могут быть использованы и другие буквы, например:. Задать функцию - значит указать закон, по которому каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие вычисляется значение зависимой переменной из области значения функции.

Существуют три основных способа задания функции: Этот способ имеет широкое примение в различных отраслях знаний и экспериментальных исследованиях. В этом случае вся цифровая информация заносится в таблицы. Как правило одну из переменных, например, время можно принять за независимую, тогда другие величины будут функциями от этого аргумента.

По сути базы данных основан на табличном способе задания. Этот способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде аналитического выражения формул. Следует отметить, что функция может определиться и набором формул. Здесь соответствие между аргументом и функцией задается посредствам графика. Этот способ широко используется в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов. Область определения функции находится из условий. Функция может иметь прикладной характер и область ее определения будет определяться реальными значениями входящих параметров.

Функции, возрастающие и убывающие, называются монотонными. В противном случае функция называется неограниченной. Функция называется явной если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной.

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных, с помощью конечного числа арифметических операций и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций достаточно широк: Учитывая, что экономические явления и процессы обуславливаются действием различных факторов, для их исследования широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций можно выделить мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающих его в ноль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Это определение означает, что функция f x имеет предел в точке x 0 , если для любой - окрестности точки A можно найти такую -окрестность x 0 , что, как только значение аргумента попадет в эту -окрестность, соответствующее значение функции f x ,будет находиться в - окрестностях точки A.

Пределы функции справа и слева называются односторонним пределами. Последнее изменение этой страницы: Все права принадлежать их авторам. Обратная связь - Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления. Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Следующая. Действительные числа Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Следующая.



COPYRIGHT © 2016-2017 www.vpadlu.org.ua